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개념과문제

고1 집합과 명제

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1. 집합

일단 집합이 쉬운 개념은 아니라는 것부터 인식할 필요가 있다. 중학교 1학년 첫단원이라서 그런가, 다들 그다지 어렵게 생각 안해서 그렇지(고등 교육과정으로 넘어갔다) 집합이란 사실 대단히 추상적인 개념으로, 대단히 최근에(예를 들어 미적분보다 더 요즘) 생겨난 개념이다. 만일 이 단원이 어렵지 않게 느껴진다면 이미 수학적 사고와 추상화에 대단히 익숙해져 있기 때문이다. 거기에 익숙하지 않은 사람들은 당연히 이 단원이 어렵다!

집합은 결국 수학적 엄밀성과 연결되어 있다. 칸토어가 수학적 엄밀성을 추구하다보니 집합이란 개념이 생각난 것이고, 이는 1960년대의 새수학 운동과도 연결되어 있으므로, 이 단원을 언제 가르쳐야 할지 현재 애매한 상태이다. 현재는 수학 교과에서 가르친다.

간단히 말해서, 집합이란 건 모임이다. 우리 가족의 모임을 예로 들면 울아빠, 울엄마, 나, 우리동생 이렇게 표현할 수 있는 것처럼 이를 기호로 우리 가족={울아빠, 울엄마, 나, 우리동생} 이렇게 표현한 것이다. 그런데, 유의할 점이, 집합 안에도 원소로 집합이 들어갈 수 있다는 점이다. 예를 들면, 추석 때 모이는 친족 모임={우리 가족, 큰아버지 가족, 작은아버지 가족} 이런 방식으로 가족이라는 집합을 원소로 또 다른 집합을 만들 수 있는 것이다. 여기서 헷갈리지?

공집합: 원소가 하나도 없는 집합. 기호는 {} ∅,ϕ와는 공집합은 모든 집합의 부분집합이다.

전체집합: 고려해야하는 모든 대상을 담은 집합. 기호로는 보통 U (universal set)를 쓴다.

1.1 집합 원소의 개수

A가 유한집합일 때, A의 원소의 개수를 n(A)로 표기한다. 나중에는 |A|의 표기도 쓴다.

1.2 집합의 연산

A에 속하거나 B에 속하는 모든 원소로 이루어진 집합을 AB합집합(union)이라고 하며 A∪B로 표현한다.

여집합은 논리 연산자 OR()과 연관된다. 즉, x∈A∪B⟺x∈A∨x∈B 이다.

1.2.2 교집합

AB에 동시에 속하는 원소로 이루어진 집합을 AB교집합(intersection)이라고 하며 A∩B로 표기한다.

교집합은 논리 연산자 AND()와 연관된다. 즉, x∈A∩B⟺x∈A∧x∈B 이다.

A∩B=∅ 이면 A와 B는 서로 소(disjoint)라고 한다. 반대로 A∩B≠∅ 이면 A와 B는 intersect한다고 하는데, 우리말로는 적당한 번역어가 없다.

1.2.3 여집합[편집]

전체집합 U의 원소 중에서 A에 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합을 (U에 대한) A의 여집합(complement)이라고 하고, Ac 로 표기한다. 달리 표현하면 Ac=U−A이다.

여집합은 논리 연산자 NOT(¬, 고등학교에서는 를 더 많이 쓴다)과 연관된다. 즉, x∈Ac⟺¬[x∈A]이다.

1.2.4 차집합[편집]

집합 A의 원소 중 집합 B의 원소가 아닌 것의 집합을 A에서 B를 뺀 차집합(difference)이라고 하며, A−B로 표기한다. 나중에는 A∖B의 표기도 쓴다.

A−B=A∩Bc의 관계가 성립한다.

1.3 집합에 사용되는 정리, 법칙[편집]

1.3.1 포함-배제의 원리[편집]

합집합의 원소의 개수를 셀 때 사용하는 방법이다. 경우의 수를 셀 때 아주 유용하게 쓰인다.

n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)

n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩B)−n(B∩C)−n(C∩A)+n(A∩B∩C)

집합이 3개 이상일 때에도 비슷한 방법으로 계산할 수 있다.

1.3.2 드 모르간의 법칙

집합의 연산식을 단순하게 만들 때 사용한다.

(A∪B)c=Ac∩Bc,(A∩B)c=Ac∪Bc

만약 괄호 안에 둘 이상의 집합의 합집합 또는 교집합 연산이 포함된 식이 있을 때는 결합 법칙이 성립하므로 괄호 안을 두 개의 괄호로 나누면 된다.(?? 아래 식 잘못된것같음. 한 괄호 안에 합집합과 교집합이 공존할 순 없잖나...)

(A∪Bc∩C∩Dc)c

=((A∪Bc)∩(C∩Dc))c

=((A∪Bc∩C)∩Dc)c

=(A∪(Bc∩C∩Dc))c

명제[편집]

누구라도 참인지 거짓인지 일치된 판단을 할 수 있는 문장을 명제라고 한다. 즉, 객관적으로 참과 거짓을 알 수 있다.

2.1 명제의 구조[편집]

특정한 변수의 값에 따라 참과 거짓이 달라지는 식 또는 문장을 조건이라고 한다.

예시

x는 정수이다.

(어떤 도형이) 삼각형이면 내각의 합이 180도이다.

조건은 명제를 이루는 가장 작은 요소이로, 명제는 조건 p, q를 이용해 "p이면 q이다"와 같이 만들어질 수 있다.

더이상 쪼갤 수 없는 가장 작은 단위의 명제를 단순명제라고 한다. 조건과는 다르다! 조건과는!

예시

위키러는 사람이다.

리브라는 실존인물이다.그랬으면 좋겠..

위의 예시를 보면 공통적으로 "A는 B이다" 형식으로 되어 있는 것을 볼 수 있다. A에는 명제가 표현하고자 하는 대상이 오고, B에는 그 대상의 특성이 오게 된다.

단순 명제들 여러 개로 이루어진 하나의 명제를 합성명제라고 한다.

마찬가지로 예시로 알 수 있듯이, A이면 B이다 형식으로 되어 있는 것을 볼 수 있다. A를 가정, B를 결론이라고 한다. 따라서, 복합명제는 "A라고 가정했을 때 B라는 결론이 나온다" 라는 뜻으로 해석할 수 있다.

2.2 진리표[편집]

명제의 모든 가능성을 표로 나열한 것을 진리표라고 한다.

단순명제 p의 진리표는 다음과 같이 작성한다.

p
T
F

(여기에서 T는 참, F는 거짓을 나타낸다)

합성명제

p→q

의 진리표는 다음과 같은 방식으로 작성한다.

p
q
p→q
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T

진리표를 그린 결과가 모두 참일 때, 그 명제를 항진명제라고 하고, 모두 거짓일 때는 모순이라고 한다.

2.3 논리 연산[편집]

단순명제를 논리 연산을 이용해 합성하면 합성명제를 만들어낼 수 있다. 이 문서에서 알아볼 논리 연산의 종류는 다음과 같다.

¬(not)

p
¬
p
T
F
F
T

(and)

p
q
pq
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
F

(or)

p
q
pq
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F

pq는 ¬pq와 같다.

pq가 참일 때 p라고 쓴다.

p
q
pq
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T

pq는 (pq)(qp) 와 같다.

pq가 참일 때 p라고 쓴다.

p
q
pq
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T

2.3.1 연산법칙[편집]

모든 논리연산은

A∧B,A∨B,¬A

(A, B는 임의의 논리식)만으로 표현이 가능하다. 이것에 대한 자세한 설명은 논리연산참고. 이 연산들에 대해 다음 법칙이 성립한다.

교환법칙, 결합법칙, 분배법칙

흡수법칙

A(AB)=A

A(AB)=A

드모르간의 법칙

(¬A)(¬B)=¬(AA)

(¬A)(¬B)=¬(AA)

기타

AA=A

AA=A

A0=0

A0=A

A1=A

A1=1

A(¬A)=0

A(¬A)=1

¬(¬A)=A

각각의 연산법칙들은 밴 다이어그램을 그려보면 쉽게 이해할 수 있다.

2.3.2 역, 이, 대우[편집]

명제

p→q는 세 가지 방법으로 뒤집을 수 있다.

가정과 결론을 바꾸는 방법(q→p)을 이라고 한다.

가정과 결론을 모두 부정하는 방법(¬p→¬q)을 라고 한다.

역과 이를 동시에 적용하는 방법(¬q→¬p)을 대우라고 한다.

이들의 특성은 다음과 같다.

원명제와 역명제, 이명제와 대우명제는 서로 역 관계에 있다.

원명제와 이명제, 역명제와 대우명제는 서로 이 관계에 있다.

원명제와 대우명제, 역명제와 이명제는 서로 대우 관계에 있다.

2.4 공리[편집]

우리가 어떤 명제의 참과 거짓을 증명해낼 때는 다른 명제를 이용하게 된다. 그런데, 모든 명제가 처음부터 참과 거짓이 증명되어 있지 않다면? 충격과 공포다 전제가 이상하기 때문에 증명이 맞다고 할 수 없게 된다. 올바른 증명을 하려면 가장 기초적인 근거가 될 가정을 할 필요가 있다. 이것을 공리라고 한다. 어떤 이론체계에서든 공리를 제대로 설정했을 때만 논리적으로 접근할 수 있다.

공리로 시작해서 연역적으로 유도되는 명제를 정리라고 한다.

2.5 집합과의 관계[편집]

변수가 속해있는 전체집합 U의 원소 중 어떤 조건이 참이 되게 하는 모든 원소의 집합을 그 조건의 진리집합이라고 한다. 조건 p, q의 진리집합이 P, Q일 때, 다음이 성립한다.

(pq) (PQ)

(pq) (PQ)

문제는 아래 블로그 참고하세요

https://blog.naver.com/hanjin0322/222602150568

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